FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Funções Trigonométricas: Seno, Cosseno e Tangente

 

As funções trigonométricas são funções angulares obtidas através do auxílio do círculo trigonométrico.

Destacamos as principais funções trigonométricas:

 

• Função Seno;
• Função Cosseno;
• Função Tangente.

 

Considerando um número real x qualquer e um ponto P do círculo trigonométrico, associamos esse ponto a um único valor para as funções trigonométricas seno e cosseno, e chamaremos sen(x) e cos(x).

 

 

Esse ponto P mostrado acima pode ser qualquer um dos valores do círculo trigonométrico, em graus ou radiano.

 

 

Função Trigonométrica Seno

 

A função seno é uma função periódica que possui imagem no intervalo [-1, 1], isto é, -1 ≤ sen(x) ≤ 1, onde x é um número real.

 

Domínio

 

O domínio da função é o conjunto dos números reais, ou seja, sen(x) é definido para qualquer x real, então o domínio de f(x) = sen(x) é o conjunto R. Logo: D = R

 

Imagem

 

A função sen(x) assume o valor máximo igual a 1, isso ocorre quando o valor de x representa um arco com primeira determinação π/2. E o valor mínimo igual a -1, quando x representa um arco com primeira determinação 3π/2.

 

Então, o conjunto imagem para a função f(x) = sen(x) é o intervalo [-1, 1], assim: Im = [-1, 1]

 

Arcos Notáveis

 

Os arcos notáveis são valores, em radianos, para os ângulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360°.

Então, assumindo que x seja um dos valores notáveis acima, temos a seguinte tabela com os valores em radianos para os ângulos em graus e o seno para o respectivo ângulo.

A partir dessa tabela podemos construir o gráfico da função seno.

 

Gráfico da Função Seno

 

Vamos construir o gráfico da função colocando os valores notáveis no plano cartesiano. O comportamento da função seno é uma variação entre -1 e 1, por esse motivo o seno é chamada função periódica.

 

 

Período

O período é a curva do gráfico no intervalo 0 a 2π, chamado de senoide. Então, o período do seno é 2π.

Paridade

A paridade da função seno é dada por sen(-x) = – sen(x). Assim, f(x) = sen(x) é ímpar.

Sinal

No círculo trigonométrico a função tem sinal positivo nos quadrantes I e II, e sinal negativo nos quadrantes III e IV. Considerando uma volta completa no ciclo.

 

 

Pelo gráfico podemos ver quando a função assume valores negativos, positivos e zero.

 

 

Função Trigonométrica Cosseno

A função cosseno também é uma função periódica que possui imagem no intervalo [-1, 1], isto é, para um x real -1 ≤ cos(x) ≤ 1.

Domínio

O domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais, isto é, cos(x) é definido para qualquer x real, então o domínio de f(x) = cos(x) é o conjunto R. Assim: D = R

Imagem

A função cos(x) assume valor máximo igual a 1, ocorre quando o valor de x representa um arco com primeira determinação 0. E o valor mínimo igual a -1, quando x representa um arco com primeira determinação π.

 

 

Assim, o conjunto imagem para f(x) = cos(x) é o intervalo [-1, 1]. Logo: Im = [-1, 1]

Arcos Notáveis

Os arcos notáveis são valores, em radianos, para os ângulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360°.

 

x	cos(x)
0	1
π/6	√3/2
π/4	√2/2
π/3	1⁄2
π/2	0
π	-1
3π/2	0
2π	1

Esses valores nos auxiliará na construção do gráfico da função cosseno.

Gráfico

Usando os valores dos arcos notáveis acima, vamos construir o gráfico da função no plano cartesiano. A função cosseno é uma variação entre -1 e 1. Também é uma função periódica.

 

Período

O período é a curva do gráfico no intervalo 0 a 2π, chamado de cossenoide. Então, o período da função é 2π.

Paridade

A paridade é dada por cos(-x) = cos(x). Assim, f(x) = cos(x) é par.

Sinal

No círculo trigonométrico a função cosseno tem sinal positivo nos quadrantes I e IV, e negativo nos quadrantes II e III. Considerando uma volta completa no ciclo.

 

 

Pelo gráfico podemos ver quando a função cosseno assume valores negativos, positivos e zero.

 

Função Trigonométrica Tangente

A função tangente para um número real x é a razão entre o seno e o cosseno desse número. É uma função ilimitada, ou seja, não é limitada por um intervalo como as funções seno e cosseno, mas é periódica.

Domínio

A função tangente existe, se, e somente se, o cos(x) ≠ 0, então definimos o domínio da função f(x) = tan(x) como:

 

D = {x ∈ R | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}

 

Imagem

A tangente de um número real x pode assumir qualquer valor, já que a função tangente é ilimitada. Dessa forma, a imagem da função é:

Im = ]-∞, ∞[

Ou seja, pode assumir infinitos valores negativos ou positivos.

Arcos Notáveis

Os arcos notáveis são valores, em radianos, para os ângulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360°.

x	tan(x)
0	0
π/6	√3/3
π/4	1
π/3	√3
π/2	∄
π	0
3π/2	∄
2π	0

Este símbolo (∄) significa não existe.

Esses valores nos auxiliará na construção do gráfico da função tangente.

Gráfico

Com os valores notáveis para a função em mãos, vamos construir o gráfico. A função tangente é ilimitada, isto é, não está dentro de um intervalo. É uma função periódica, ou seja, ocorre em determinados períodos.

 

 

Período

O período da função é π.

Paridade

A paridade da função é dada por tan(-x) = – tan(x). Assim, f(x) = tan(x) é ímpar.

Sinal

No círculo trigonométrico a função tangente tem sinal positivo nos quadrantes I e III, e negativo nos quadrantes II e IV. Considerando uma volta completa no ciclo.

 

 

Pelo gráfico podemos ver quando a função assume valores negativos, positivos e zero.

 

G

Esse é um resumo das funções trigonométricas mais importantes da trigonometria.

 

x	sen(x)
0	0
π/6	1⁄2
π/4	√2/2
π/3	√3/2
π/2	1
π	0
3π/2	-1
2π	0