Gráfico das Funções Básicas

 

As funções básicas são um grupo de funções que são originais e que servem de base para a construção das outras funções. Então, fazer o Gráfico das Funções Básicas é representar a função no plano cartesiano, na qual sua aparência é uma curva. Esta curva é formada por todos os pontos que descrevem a função. Além disso, no caso de uma função que tenha a variável independente e a variável dependente , em que no plano cartesiano, os pontos do gráfico são formados pelo par ordenado  

 

Muitas vezes, no estudo das funções não há a necessidade de gráficos completos, com todos os detalhes. Precisamos apenas de uma ideia geral do comportamento da função e alguns pontos importantes por onde ela passa. Esta figura chama-se esboço da função.

A seguir apresentam-se algumas dicas de como construir os esboços das funções básicas. 

 

• Função Constante 

   

  São aquelas que independem da variável , na qual para todo o domínio ela permanece com o mesmo valor. Por exemplo, :

   

   

 

 

• Função Potência  

   

  São aquelas funções em que a variável independente está elevada à uma potência. Quando for um número natural, o grau da potência representa a quantidade de raízes que a função possui, sendo que algumas das raízes podem não ser reais. As demais são os pontos onde interceptam o eixo , exemplos: 

   

 

Além do mais, dentro das funções potência existe o caso particular em que a potência é fracionária, por isso este tipo de função é chamada de Função Raiz, uma vez que . Veja dois exemplos e repare no domínio: 

 

 

uma fração. Como o denominador de uma fração deve ser diferente de 0, no domínio aparecem algumas restrições. Assim, nestes pontos não haverá gráfico, na qual chama-se de Assíntotas Verticais.  Exemplo:

 

 

Neste exemplo, nota-se também uma Assintota Horizontal. 

 

• Função Exponencial 

   

  É quando tem-se a variável independente no expoente e uma constante na base. Talvez a função exponencial mais conhecida e utilizada seja a que contém na base o número de Euler, ou seja, o famoso :

   

• Função Logarítmica

   

  É a função  que possui a variável independente no logaritmando, sendo que a base deve ser positiva e diferente de 1. Note que, o domínio desta função são todos os reais positivos. Além disso,  lembre-se que , exemplo:    

   

• Funções  Trigonométricas

   

  São funções angulares na qual estão relacionadas com o arco trigonométrico. Lembrando que as funções assumem o mesmo comportamento periódico, exemplos:

   

TIPOS DE FUNÇÕES

 

Função do 2º grau ou função quadrática

 

Conhecemos como função quadrática ou função do 2º grau a função com domínio e contradomínio nos reais e que a lei de formação é f(x) = ax² +bx + c.

 

 

Definimos como função do 2º grau, ou função quadrática, a função R → R, ou seja, uma função em que o domínio e o contradomínio são iguais ao conjunto dos números reais, e que possui a lei de formação f(x) = ax² +bx +c.

 

O gráfico da função quadrática é sempre uma parábola e possui elementos importantes, que são:

 

• as raízes da função quadrática, calculadas pelo x’ e x”;

• o vértice da parábola, que pode ser encontrado a partir de fórmulas específicas.

O que é uma função do 2º grau?

 

Uma função polinomial é conhecida como função do 2º grau, ou também como função quadrática, quando em sua lei de formação ela possui um polinômio de grau dois, ou seja, f(x) = ax² +bx +c, em que a, b e c são números reais, e a ≠ 0. Além da lei de formação, essa função possui domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, ou seja, f: R→ R.

 

Exemplos

 

a) f(x) = 2x²+3x + 1

 

a = 2

b = 3

c=1

 

b) g(x) = -x² + 4

 

a = -1

b = 0

c = 4

 

c) h(x) = x² – x

 

a = 1

b = -1

c = 0

Valor numérico de uma função

 

Para encontrar o valor numérico de qualquer função, conhecendo a sua lei de formação, basta realizarmos a substituição do valor de x para encontrar a imagem f(x).

 

Exemplos

 

Dada a função f(x) = x² + 2x – 3, calcule:

 

a) f(0)
f(0) = 0² +2·0 – 3 = 0 + 0 – 3 = –3

b) f(1)
f(1) = 1² + 2·1 + 3  = 1+2 – 3 = 0

c) f(2)
f(2) = 2² + 2·2+3 = 4+4–3=5

d) f(-2)
f(-2) = (-2)² + 2·(-2) – 3
f(-2) = 4  - 4 – 3 = –3

Raízes da função de 2º grau

 

Para encontrar as raízes da função quadrática, conhecidas também como zero da função, é necessário o domínio das equações do segundo grau. Para resolver uma equação do segundo grau, há vários métodos, como a fórmula de Bhaskara e a soma e produto.

A raízes de uma função quadrática são os valores de x que fazem com que f(x) = 0. Sendo assim, para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, faremos ax² + bx + c = 0.

 

Exemplo

 

f(x) = x² +2x – 3

a = 1

b = 2

c = –3

Δ =b² – 4ac

Δ=2² – 4 ·1·(-3)

Δ=4 +12

Δ = 16

 

Então, os zeros da função são {1, -3}.

 

O valor do delta nos permite saber quantos zeros a função quadrática vai ter. Podemos separar em três casos:

 

• Δ > 0 → a função possui duas raízes reais distintas;

• Δ = 0 → a função possui uma única raiz real;

• Δ < 0 → a função não possui raiz real.

 

Gráfico de uma função do 2º grau

 

O gráfico de uma função do 2º grau é representado sempre por uma parábola. Existem duas possibilidades, dependendo do valor do coeficiente “a”: a concavidade da parábola pode ser para cima ou para baixo.

 

Se a > 0, a concavidade é para cima:

 

O ponto V representa o que conhecemos como vértice da parábola, que, nesse caso, é o ponto de mínimo, ou seja, o menor valor que f(x) pode assumir.

 

Se a < 0, a concavidade é para baixo:

 

 

Quando isso ocorre, perceba que, nesse caso, o vértice é o ponto de máximo da função, ou seja, maior valor que f(x) pode assumir.

 

Para fazer o esboço do gráfico, precisamos encontrar:

 

• os zeros da função;

• o ponto em que a função intercepta o eixo y;

• o ponto de máximo ou de mínimo da parábola, que conhecemos como vértice da parábola.

Vértice da parábola

 

Como vimos anteriormente, o vértice da parábola é o ponto de mínimo ou de máximo do gráfico. Para encontrar o valor de x e y no vértice, utilizamos uma fórmula específica. Vale ressaltar que o vértice é um ponto V, logo ele possui coordenadas, representadas por x_v e y_v.

 

Para calcular o valor de V (x_v, y_v), utilizamos as fórmulas:

 

 

Exemplo

 

Encontre o vértice da parábola f(x) = –x² +4x – 3.

 

a = -1.

b = 4.

c = -3

 

Calculando o Δ e aplicando a fórmula de Bhaskara, temos que:

 

Δ=b² – 4ac

Δ=4² – 4(-1) (-3)

Δ=16 – 12

 Δ=4

 

Representação gráfica de uma função do 2º grau

 

Para realizar o esboço do gráfico de uma função, é necessário encontrar três elementos: os zeros ou raízes da função, o vértice e o ponto em que a função toca o eixo y, conforme o exemplo a seguir.

 

Exemplo

 

f(x) = x² – 6x + 8

 

1º passo: As raízes da função são os pontos em que a parábola toca o eixo x, logo queremos encontrar os pontos (x’, 0) e (x”,0).

 

Para isso faremos f(x) = 0, então temos que:

 

x² – 6x + 8=0

a= 1

b= -6

c = 8

Δ = b² -4ac

Δ = (-6)² -4·1·8

Δ = 36 – 32

Δ = 4

 

Já temos dois pontos para o gráfico, o ponto A(4,0) e o ponto B (2,0).

 

2º passo: encontrar o vértice da parábola.

 

Então o vértice da parábola é o ponto V(3, -1).

 

3º passo: encontrar o ponto de intersecção da parábola com o eixo y.

Para isso, basta calcular f(0):

 

f(x) =x² – 6x + 8

f(0) = 0² -6·0 + 8

f(0) = 8

Por fim, o ponto C (0,8) pertence ao gráfico.

 

4º passo: Agora que temos os pontos, vamos marcá-los no plano cartesiano e fazer o esboço do gráfico da parábola.

 

A(4,0)

B(2,0)

V(3,-1)

C(0,8)

 

Função do 1 grau e seu gráfico (Função Afim)

 

 

,

onde

a é o coeficiente angular, que determina a inclinação da reta;

b é o coeficiente linear, que determina o ponto onde a reta intercepta o eixo y.  

 

• Função do 1º grau crescente (a>0)

 

Neste caso o gráfico possui o seguinte comportamento:

 

 

Para verificar, pode-se construir a função que está plotada no gráfico a cima da seguinte forma. 

 

a) Encontrar o coeficiente angular com a fórmula dada anteriormente:

 

.

 

b) Encontrar o coeficiente linear, para isto utiliza-se a forma básica, , o ponto  e o coeficiente angular recém encontrado :  

.

 

Assim, encontramos a função  que representa a função do gráfico, onde a>0.

• Função do 1º grau decrescente (a<0)

 

Neste caso o gráfico possui o seguinte comportamento:

 

 

Para verificar, repeti-se o procedimento realizado no caso a cima.

 

a) Encontrar o coeficiente angular:

 

.

 

b) Encontrar o coeficiente linear, para isto utilizaremos a forma básica, o ponto  e o coeficiente angular : 

 

.

 

Assim, encontra-se a função  que representa a função do gráfico, onde a<0.

DOMÍNIO E CONTRADOMÍNIO

 

FUNÇÕES (SOBREJETORA, INJETORA E BIJETORA)

 

Função Injetora ou Injetiva

Uma função f: A → B é injetora ou injetiva se, e somente se, os elementos distintos em A possuem elementos distintos em B.

 

 

Como podemos ver pelo diagrama de flechas que todo elemento de B possui somente uma flecha apontada para ele.

 

Função Sobrejetora ou Sobrejetiva

 

Temos que f : A → B é sobrejetora ou sobrejetiva se, e somente se, todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A.

 

 

Pelo diagrama de flechas vemos que todos os elementos de B é atingido por pelo menos uma flecha de pelo menos um elemento de A.

 

Função Bijetora ou Bijetiva

 

Uma função f : A → B é bijetora ou bijetiva se, e somente se, ela for injetora e sobrejetora. Isto é, todos os elementos de B é imagem de apenas um elemento de A.

 

 

Como vemos no diagrama de flechas que todos os elementos de B é imagem de apenas um elemento de A, assim sendo injetora e sobrejetora e, portanto, é bijetora.